האפס: איך נקודה הפכה למספר

מקום ריק

כתבו מאה וחמש

כתבו 1 ואחריו 5. עכשיו כתבו מאה וחמש, עם מקום ריק באמצע. האם זה חמש־עשרה? רווח קטן בדיו דהויה קל לפספס.

הפתרון לפער הזה לקח לאנשים מאות שנים. הסיפור של הפתרון הוא הסיפור של האפס.

רקע

ערך מקומי

השיטה שלנו מבוססת על ערך מקומי: הערך של ספרה תלוי במקום שבו היא עומדת. ב־105 ה־1 שווה מאה. השיטה עובדת רק אם הקורא יכול לראות אילו מקומות ריקים.

רקע

המתמטיקאי בלי סימן לאפס

אריאבהטה חי בהודו בערך בין 476 ל־550 לספירה. ספרים רבים מכנים אותו ״אבי השיטה העשרונית״. ובכל זאת, לפי היסטוריונים רבים, בכתביו אין סימן כתוב לאפס.

על קליפת עץ עתיקה

הממצא

הממצא של האיכר

70 עלים

בשנת 1881 מצא איכר מקומי עלים ישנים שנקברו בשדה, בכפר בחשלי, ליד פשאוור. פשאוור נמצאת היום בפקיסטן. העלים עשויים מקליפת עץ, ויש מהם 70. עליהם שורות של מתמטיקה בכתב הודי עתיק. בשנת 1902 נמסר כתב היד לספרייה הבודליאנית באוקספורד, ושם הוא נשמר מאז.

נקודת החלטה

אתם מעתיקים ספר של תרגילי חשבון.

סצנה דמיונית. התאריך של כתב היד שנוי במחלוקת.

ספר הרב שלכם מלא בתרגילים עם מספרים גדולים. עכשיו אתם מעתיקים מספר אחד: מאה וחמש.

כתבתם את ה־1 ואת ה־5. אם משאירים את האמצע ריק, קורא עלול לראות חמש־עשרה. על עלה שחוק, מקום ריק קל לפספס.

מה שמים במקום הריק?

• משאירים רווח. כנראה התרגיל ייכשל. קורא שרואה חמש־עשרה יחשב תרגיל שגוי.
• כותבים את המילה ״מאה״ במלואה. כנראה ברור, אבל איטי. כל מספר גדול דורש מילה ארוכה, והעלה מתמלא מהר.
• מציירים נקודה קטנה במקום הריק. כנראה זה קצר וברור. הקורא רואה שהמקום ריק, וקורא את המספר נכון.

מה קרה בפועל

מציירים נקודה קטנה במקום הריק.

בכתב היד אכן יש נקודה שמסמנת מקום ריק. לפי הודעת אוקספורד, הנקודה סימנה את סדר הגודל של המספר, וזה התפקיד של סימן מציין מקום.

ההחלטה דמיונית, אבל הסימן אמיתי. נקודה נכתבת מהר, והיא יושבת במקום שבו הייתה עומדת ספרה.

הטבלה של 1887

סימני המספרים

טבלה שפורסמה ב־1887 מציגה את סימני המספרים שבשימוש בכתב היד. הסימן של 0 בטבלה הוא נקודה פשוטה, אותו סימן שהמעתיקים השתמשו בו למקום ריק.

מקור: הטענה של הספרייה הבודליאנית, 2017

המקור המתועד העתיק ביותר בעולם לסמל האפס שבו אנו משתמשים היום.

ההודעה הכריזה על תוצאות תיארוך בפחמן־14 בהודעה לעיתונות ובסרטון. היסטוריונים שחולקים על הטענה טוענים שהתוצאות היו צריכות לעבור בדיקת עמיתים לפני ההכרזה.

• מי פרסם את זה, ומה הם מרוויחים מכך? הספרייה שמחזיקה בעלה. אפס עתיק ביותר הופך גם את כתב היד שלה לנודע. זה לא הופך את הטענה לשקרית, אבל זו סיבה לקרוא אותה בזהירות.
• מה ההודעה משמיטה? היא נותנת את התאריך הישן ביותר שאליו מגיעים העלים: ״כבר במאה ה־3 או ה־4״. היא לא אומרת אילו עלים תוארכו, ואינה מציגה את המספרים שמאחורי התאריכים.

מה עושים עם האפס?

רקע

ספר מ־628

בשנת 628 לספירה כתב האסטרונום והמתמטיקאי ההודי בראהמגופטה ספר בשם ״ברהמספוטסידהנטה״. בספר הוא מגדיר את האפס כתוצאה של חיסור מספר מעצמו. מחסרים 7 מ־7, ולא נשאר דבר.

נקודת החלטה

אתם בראהמגופטה, כותבים בשנת 628 לספירה.

628 לספירה. הבחירה דמיונית.

אתם מכירים את האפס כסימן למקום ריק, וככתוצאה של 7 פחות 7. עכשיו שאלה קשה יותר: האם האפס מתנהג כמו מספרים אחרים?

הקוראים שלכם עובדים עם חובות והון, כלומר מספרים שליליים וחיוביים. הם שואלים מה קורה כשמוסיפים אפס, מכפילים בו, או מחלקים בו.

האם האפס צריך לציית לאותם כללים כמו מספרים אחרים?

• לא. האפס הוא רק סימן למקום ריק, בלי כללים משלו. כנראה התרגילים עם מקומות ריקים עדיין עובדים, אבל שאלות על חובות שמתבטלים נשארות בלי תשובה ברורה.
• כן. הוספת אפס לא משנה כלום, וכל מספר כפול אפס הוא אפס. כנראה החישובים הופכים ברורים ושימושיים. האפס הופך מסימן לכלי.
• כן, וחלוקה באפס נותנת גם היא אפס, כך שלכל תרגיל יש תשובה. כנראה הספר נראה שלם, אבל הכללים שלו מתנגשים זה בזה, ולחלק מהתרגילים אין תשובה אחת.

מה קרה בפועל

כן. הוספת אפס לא משנה כלום, וכל מספר כפול אפס הוא אפס.

הוא עשה זאת. הוא כתב כללים לאפס: הוספתו לא משנה, ומספר כפול אפס הופך לאפס. הוא ניסה להרחיב את הכללים גם לחלוקה באפס, ותשובתו ל־0 חלקי 0 הייתה שגויה.

הכללים הם החלק שעדיין חשוב. הוא נתן כללים גם לחובות ולהון. חלוקה באפס הייתה הפער שלא הצליח לסגור.

מקור: סיכום מודרני של הכללים

חוב פחות אפס הוא חוב. הון פחות אפס הוא הון. אפס פחות אפס הוא אפס. חוב שנגרע מאפס הוא הון.

הכללים מנוסחים באנגלית של אתר מודרני, שנכתב הרבה אחרי 628 ומסכם את הטקסט הסנסקריטי. שיפוטו של האתר על החילוק מופיע בהמשך: ״הוא טועה בוודאות כשהוא טוען ש־0 חלקי 0 הוא 0״.

• של מי המילים האלה, וכמה הן קרובות למילים של בראהמגופטה? זה נוסח אנגלי מודרני, לא הסנסקריט שלו. תרגום יכול לשנות ניסוח, לכן כדאי לקרוא את הכללים כקרובים למשמעות, לא כנוסח המדויק.
• איזה חלק הוא שיפוט של הכותב, ולא של המקור? המשפט על 0 חלקי 0. האתר קורא לבראהמגופטה ״טועה בוודאות״. זה פסק דין מודרני, וקורא צריך לומר את זה.

מי הגיע ראשון?

רקע

האפס מתפשט

גם על אבן יש אפס. כתובת מקמבודיה, מתוארכת ל־683 לספירה, עשויה להראות אפס. היסטוריונים מתווכחים אם זה אותו סוג של אפס. כתובת אבן מגוואליור שבהודו, מ־876 לספירה, משתמשת באפס, ולזמן רב נחשבה לאפס העתיק ביותר בהודו.

בת כמה העלה?

בן כמה כתב היד מבחשלי, ומה התאריך מוכיח?

• הספרייה הבודליאנית, 2017 תיארוך בפחמן־14 מציב חלק מהעלים כבר במאה ה־3 או ה־4 לספירה. דיווחי עיתונות נתנו תאריכים משוערים לשלושה עלים: בערך 300, 700 ו־900 לספירה. ההודעה עצמה אינה נותנת תאריכים כאלה.
• קים פלוקר ועמיתיה, היסטוריונים של המתמטיקה ההודית הם חולקים על הטענה, בתגובה שפורסמה ב־2017 בכתב עת לתולדות המדע בדרום אסיה. לדבריהם, העלה הקדום ביותר שתוארך כנראה אינו מתארך את הטקסט כולו, ותאריך מאוחר יותר משקף טוב יותר מתי נכתב הטקסט. הם טוענים גם שהאפסים הכתובים בכתב היד פועלים כמספרים ממש, ולא רק כסימני מקום. הם מצטערים שהתוצאות הוכרזו בהודעה לעיתונות ובסרטון, בלי בדיקת עמיתים.

העלים באים מלפחות שלוש תקופות. האם נכתבו יחד, או שנעשה שימוש בעלי קליפה ישנים יותר? והאם תאריך אחד יכול לספר משהו על הספר כולו?

נקודת החלטה

אתם חברים בגילדת סוחרים בפירנצה, בשנת 1299.

סצנה דמיונית. הדיווחים על האיסור שנויים במחלוקת.

בשנת 1202 לימד ״ספר החשבונייה״ של פיבונאצ׳י את אירופה את הספרות ההודיות־ערביות. יש סוחרים שכבר משתמשים בהן, ויש שאומרים שהן מהירות יותר.

הפקידים בגילדה שלכם עדיין כותבים חשבונות בדרך הישנה. חלק מהחברים רוצים את הסימנים החדשים. אחרים חוששים מבלבול ומטעויות העתקה.

מה מחליטה הגילדה לגבי הספרות החדשות?

• מתירים אותן, אבל רק לצד המספרים הישנים. כנראה הספרים נשארים קריאים לפקידים הוותיקים. כתיבה של שתי שיטות זו לצד זו מקלה על טעויות.
• מתירים אותן בכל החשבונות. כנראה תרגילים ייכתבו מהר יותר. פקידים שהוכשרו בדרך הישנה יצטרכו ללמוד מחדש, וזה לוקח זמן.
• אוסרים אותן בספרי החשבונות של הגילדה. כנראה הספרים נשארים בשיטה הישנה, והחדשה מתפשטת לאט יותר בין הפקידים של הגילדה עצמה.

מה קרה בפועל

אוסרים אותן בספרי החשבונות של הגילדה.

כמה תיאורים פופולריים אומרים שגילדה בפירנצה אסרה את הספרות החדשות ב־1299. אין הסכמה על הגילדה שנפגעה, והתיאורים הם כתיבה פופולרית מאוחרת, לא מסמכים של הגילדה עצמה. במאות שאחרי כן התפשטו הספרות החדשות ברחבי אירופה.

התיאורים לא נותנים סיבה ברורה לאיסור. היסטוריונים מציינים שהסיפור הגיע אלינו דרך כתיבה מאוחרת, שעשויה לשקף השקפות מאוחרות. ההחלטה עצמה דמיונית.

מיתוס

האפס הומצא פעם אחת, במקום אחד, בידי אדם חכם אחד.

האמת

האפס צמח בשלבים. קודם הופיע סימן למקום ריק, כמו הנקודה מבחשלי. אחר כך הופיעו כללים לאפס כמספר, בספרו של בראהמגופטה מ־628.

הראיות

הנקודות מבחשלי, הכללים של בראהמגופטה, והכתובות מקמבודיה (683 לספירה) ומגוואליור (876 לספירה) באים ממקומות ומזמנים שונים.

המספר שאנחנו משתמשים בו

מנקודה למספר

• 628 לספירה בראהמגופטה כותב כללים לאפס כמספר. טענתו ש־0 חלקי 0 הוא 0 שגויה.
• 683 לספירה כתובת מקמבודיה עשויה להראות אפס. היסטוריונים מתווכחים אם זה אותו סוג של אפס.
• 876 לספירה כתובת אבן מגוואליור משתמשת באפס. זמן רב נחשבה לאפס העתיק ביותר בהודו.
• 1202 ספר החשבונייה של פיבונאצ׳י מציג לאירופה את הספרות ההודיות־ערביות.
• היום חלוקה באפס עדיין אין לה תשובה, כי כל מספר כפול אפס הוא אפס.

שאלה לבדיקה

איזה תפקיד יש לסימן מציין מקום במספר 105?

התשובה: הוא מסמן את מקום העשרות הריק, כך שהספרות שומרות על ערכן.. כן. בלי הסימן קורא עלול לראות חמש־עשרה. עם הסימן, ה־1 שווה מאה.

שאלה לבדיקה

מה סימנה הנקודה בכתב היד מבחשלי?

התשובה: מקום ריק במספר, שמציין את סדר גודלו.. כן. הספרייה הבודליאנית אומרת שהנקודה סימנה את סדר הגודל של המספר.

שאלה לבדיקה

איזה מהבאים הוא אחד מכללי בראהמגופטה, לפי הסיכום המודרני שקראתם?

התשובה: כפל של כל מספר באפס נותן אפס.. כן. האתר מציין זאת: מספר מוכפל באפס הופך לאפס.

שאלה לבדיקה

למה אין לראות בדף המודרני את דבריו של בראהמגופטה עצמו?

התשובה: זהו סיכום מודרני באנגלית, והניסוח שלו עשוי להיות שונה.. כן. תרגום או סיכום יכולים לשנות את הניסוח ואת הדגשים.

שאלה לבדיקה

למה לחלוקה באפס אין תשובה?

התשובה: כי כל מספר כפול אפס הוא אפס, ולכן אי אפשר למצוא תשובה.. כן. אם א׳ חלקי אפס היה שווה למספר ג׳, אז א׳ היה שווה לג׳ כפול אפס, כלומר לאפס.

שאלה לבדיקה

איזו קביעה מתארת הכי טוב איך התפתח האפס?

התשובה: הוא צמח בשני שלבים: קודם סימן, ואחר כך כללים לאפס.. כן. השיעור הראה קודם את הנקודה, אחר כך את הכללים של בראהמגופטה, ואחר כך כתובות מאוחרות יותר.

מונחים

• סימן מציין מקום סימן שמציין מקום ריק במספר, כדי שהספרות ישמרו על ערכן. בלי הסימן אפשר לקרוא את 105 כ־15.
• ערך מקומי הרעיון שערך הספרה תלוי במקומה. ב־105 ה־1 שווה מאה.
• 0 (מספר) המספר שאינו מוסיף דבר, וגם סימן למקום ריק. היום כותבים אותו 0.
• תיארוך בפחמן־14 דרך לאמוד את גילו של חומר אורגני לפי הפחמן־14 שנותר בו. התוצאות באות כטווחים, ואפשר לערער עליהן.
• בראהמגופטה אסטרונום ומתמטיקאי הודי, שחי בערך בין 598 ל־668 לספירה. בשנת 628 כתב ספר עם כללים לאפס ולמספרים שליליים.
• חלוקה באפס חלוקת מספר באפס. אין לה תשובה, כי כל מספר כפול אפס הוא אפס.
• הספרות ההודיות־ערביות הספרות 0 עד 9 שאנחנו משתמשים בהן היום. ספר החשבונייה של פיבונאצ׳י משנת 1202 הציג אותן לאירופה.
• בחשלי כפר ליד פשאוור, היום בפקיסטן. שם מצא איכר מקומי ב־1881 עלים עתיקים עם מתמטיקה.
• ארייבהטה אסטרונום ומתמטיקאי הודי שחי בין המאות ה־5 וה־6 לספירה. ספרים רבים מכנים אותו אבי השיטה העשרונית.
• פשאוור עיר בצפון־מערב פקיסטן של היום, קרוב לגבול עם אפגניסטן. בכפר בחשלי, לידה, נמצאו עלי המתמטיקה.
• פקיסטן מדינה בדרום אסיה. היום נמצאת בה פשאוור, שליד כפר בחשלי.
• הספרייה הבודליאנית ספרייה של אוניברסיטת אוקספורד באנגליה. כתב היד מבחשלי נמסר לה ב־1902 ונשמר שם מאז.
• אוקספורד עיר באנגליה, שבה יש אוניברסיטה עתיקה וספרייה בודליאנית.
• פיבונאצ׳י מתמטיקאי איטלקי. ספרו ״ספר החשבונייה״ לימד את אירופה את הספרות ההודיות־ערביות.
• ספר החשבונייה ספר של פיבונאצ׳י, שהציג לאירופה את הספרות ההודיות־ערביות ואת החשבון בעזרתן.
• גוואליור עיר במרכז הודו. כתובת אבן משם משתמשת באפס, ולזמן רב נחשבה לאפס העתיק ביותר בהודו.
• קמבודיה מדינה בדרום־מזרח אסיה. כתובת אבן מקמבודיה, מתוארכת לשנת 683 לספירה, עשויה להראות אפס.
• גילדה בפירנצה גילדה של פירנצה שבאיטליה. תיאורים פופולריים מאוחרים מספרים שאסרה את הספרות החדשות ב־1299, אבל אין הסכמה על שמה.
• הודעה לעיתונות הודעה רשמית שגוף מוסר לכלי התקשורת כדי להכריז על דבר. תוצאות תיארוך בפחמן־14 הוכרזו כך.
• בדיקת עמיתים בדיקה של מחקר בידי מומחים עצמאיים לפני פרסומו. היסטוריונים טענו שתוצאות התיארוך היו צריכות לעבור אותה.
• סנסקריט שפה עתיקה של הודו, שבה נכתבו ספרים רבים במתמטיקה ובאסטרונומיה.
• ברהמספוטסידהנטה ספר בסנסקריט של בראהמגופטה מ־628 לספירה. בו הוא מגדיר את האפס ומנסח לו כללים.
• סדר גודל כמה גדול מספר בערך, לפי מספר הספרות שלו. הנקודה בכתב היד סימנה את סדר הגודל.
• כתב הודי עתיק כתב עתיק של הודו, שבו כתובות השורות המתמטיות מכתב היד מבחשלי.

מקורות

• Brahmagupta, Brahmasphutasiddhanta (Correctly Established Doctrine of Brahma), 628 CE
• Augustus Hoernle, On the Bakhshali Manuscript, 1887, p. 9 (plate of the number signs)
• Leonardo of Pisa (Fibonacci), Liber Abaci, 1202
• Bodleian Libraries, University of Oxford, "Carbon dating finds Bakhshali manuscript contains oldest recorded origins of the symbol zero", 14 September 2017
• MacTutor History of Mathematics archive, University of St Andrews, "Brahmagupta" biography
• Wujastyk, Plofker, Keller, Hayashi, Montelle, "The Bakhshālī Manuscript: A response to the Bodleian Library's radiocarbon dating", History of Science in South Asia 5(1), 2017, pp. 134–150
• ScienceDaily, press report on the Bodleian radiocarbon dates, 26 October 2017

קרדיט תמונות

• כתב היד מבחשלי, עלה. נשיונל ג׳אוגרפיק, 2018. נחלת הכלל (ויקישיתוף). · Public domain · דף המקור
• אוגוסטוס הורנלה (1841–1918), ״על כתב היד מבחשלי״, 1887, עמוד 9. נחלת הכלל (ויקישיתוף). · Public domain · דף המקור